LIMITES Y SUCESIONES

CONCEPTOS:

-SERIE FINITA

-SERIE INFINITA

-SERIE CRECIENTE

-SERIE DECRECIENTE

-SUCESIONES ARITMÉTICAS

-SUCESIONES GEOMÉTRICAS

TRIÀNGULO DE PASSSCALI

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

Recordemos en primer lugar el procedimiento seguido para construir el triángulo aritmético o de Pascal.
Numeramos las filas del triángulo comenzando por 0, es decir fila 0, fila 1, fila 2, etc. La fila "n" contiene n + 1 elementos, el primero y el último de los cuales toman el valor 1, mientrás que los demás elementos se obtienen sumando los dos elementos de la fila anterior entre los que se encuentra situado.
El primer applet que se encuentra en esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal.
El interés de dicho triángulo se debe a múltiples razones. Por ejemplo: los números que aparecen en cada fila son los coeficientes que se obtienen al desarrollar (a + b)ⁿ. Por ejemplo, si nos fijamos en la fila-3 observamos que los números 1, 3, 3, 1 son precisamente los coeficientes del desarrollo de
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Por otra parte, los números del triángulo reciben el nombre de números combinatorios. En la fila-3 tenemos 4 números combinatorios: C_3,0=1 ,C_3,1= 3, C_3,2= 3, C_3,3=1. El número combinatorio C_n,m representa el número de grupos distintos de m elementos que se pueden formar a partir de n objetos, de forma que cada grupo se diferencie de otro en algún elemento (combinaciones de n elementos tomados de m en m). Por ejemplo ¿cuántos delegaciones de 11 miembros se pueden formar a partir de un grupo de 20 personas? La respuesta es C_20,11. Para calcular el número basta construir 21 filas del triángulo de Pascal y fijarnos en el número que ocupa el lugar 12 (hemos empezado a contar los elementos de cada fila por el elemento 0 y las filas por la fila-0). El cálculo también se puede hacer utilizando la fórmula siguiente:
Cn,m = , donde n! se lee "n factorial" y significa: n! = n·(n - 1)·(n - 2)·.......·1. (p.ej. 4! = 4·3·2·1=24)

Progresiones aritméticas : tienen una diferencia entre termino y termino constante.

Ej : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20- tiene una diferencia de 2

Progresiones geométricas : no es constante. tiene razón la cual se saca cogiendo un numero de la sucesión y se divide por el anterior.

Ej: 1,3,9,27.... -> razón an/ an-1 = 3/1=3 es decir que la razón es 3.


Serie creciente: cuando la progresión tiende a aumentar

Serie decreciente : cuando la progresión tiene a disminuir
EJERCICIO :

HALLAR

1,5,9,13,17.

a 15= 1+(15-1)4

FORMULA PARA GEOMÉTRICA :

an= a1 r^n-1

hallar a15= 2.3^14

a15= -9

ejercicio

1)hallar el 15º termino empezando en 1 con una diferencia de 3

1,4,7,10,13,16,19

a15= 1+14*3

a15 = 43

2) -8,-15, -2

a7= -8+ 6*3

a7= 10

SUMATORIA

La suma "S" de los primeros "n" términos de la progresión geométrica (an) viene dada por :

-> Sn = an-r * an / 1-r ò Sa1(1-r^n)/ 1-r.

Ej:

S10= primero hayamos el numero que se encuentra en esta posicion, entonces,

a10 = a1 * r ^n-1

a10= 2*(-3) ^10-1

a10= 2*(-19638)

a10= -39366

S 10 = -39366 [(-3) * -39366] / 1-(-3)

S10= -39366-3( 39366)/4

S10=-39366-118098/4

S10= -39366

FORMULA PARA LA SUMA DE LAS PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Sn= n/2 (a1+an)

a10= a1 (n-1)d

2,4,6,8,10

S10= 10/2 (2+20)

=5 (22)= 110

DETERMINACIÓN DE LIMITES EN FORMA NUMÉRICA Y GRÁFICA

* EN ESTA SECCIÓN SE EMPLEAN TABLAS DE VALORES Y GRÁFICAS DE FUNCIONES PARA RESPONDER LAS PREGUNTAS .¿ QUE SUCEDE CON LOS VALORES F(X) DE UNA FUNCIÓN F CUANDO LA VARIABLE "X" SE APROXIMA A UN NUMERO ?

DEFINICIÓN DE LIMITE

SE COMIENZA POR INVESTIGAR EL COMPORTAMIENTO DELA FUNCIÓN f DEFINIDA POR

f (x) = x^2 - x+2

. PARA VALORES DE X CERCANOS A 2.